29、长度敏感的弗雷歇相似性详解

长度敏感的弗雷歇相似性详解

1. 长度敏感的弗雷歇相似性基础概念

长度敏感的弗雷歇相似性（Length - Sensitive Fréchet Similarity，LSFS）用于衡量两个几何图形（如曲线和图）之间的相似程度。对于两个图 (G) 和 (H)，我们先定义 (B_p(x, \delta)) 是以 (x) 为中心、半径为 (\delta \in R_{\geq0}) 的开球。集合 (C_{\varepsilon}^h) 是 ((G, \varphi_G)) 的子图，((C_{\varepsilon}^h, \varphi_G| {C {\varepsilon}^h})) 在 (G) 中。这里 (C) 是连通图，但 (C_{\varepsilon}^h) 不一定连通。

长度敏感的弗雷歇相似性通过同胚映射来定义，其值是通过这种同胚映射能获得的最大匹配长度，公式如下：
[F_{\varepsilon}(G, H) = \sup_{C\subset G} \sup_{h:C\rightarrow H} len(C_{\varepsilon}^h)]

下面通过一个例子来说明其计算过程：
- 给定两个图 (G)（品红色）和 (H)（橙色），先取 (G) 的一个连通子图 (C)。
- 找到一个映射 (h: C \rightarrow H)，使得 (C) 与其像同胚。
- 对于给定的 (\varepsilon)，深蓝色线段就是 (C_{\varepsilon}^h)，这些线段的总长度就是 (F_{\varepsilon}(G, H))。

2. 曲线的 LSFS 计算

对于二维空间中的两条曲线，