21、具有大敏感性和低拉伸率的紧凑距离预言机

具有大敏感性和低拉伸率的紧凑距离预言机

1. 预备知识

在图论和算法领域，为了更好地处理图的距离问题，我们需要了解一些基本概念。
- 最短路径与跳直径 ：设无向图 $G = (V, E)$ 有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边，边的权重由函数 $w: E → W$ 定义，其中 $W ⊆ R^+$ 且 $|W| = poly(n)$，同时假设 $m = Ω(n)$。对于图 $H$，用 $V(H)$ 和 $E(H)$ 分别表示其顶点集和边集。路径 $P$ 从顶点 $s$ 到 $t$ 称为 $s - t$ 路径，其长度 $|P|$ 为边权重之和。顶点 $u$ 到 $v$ 的子路径记为 $P[u..v]$，两条共享端点的路径 $P$ 和 $Q$ 可进行拼接，记为 $P ◦ Q$。两点 $s$ 和 $t$ 之间的距离 $d_H(s, t)$ 是所有 $s - t$ 路径中的最小长度，若不连通则 $d_H(s, t) = +∞$。图 $H$ 的跳直径是任意两点间最短路径的最大边数。
- 生成子图与距离敏感性预言机 ：对于图 $H$，拉伸率为 $σ ⩾ 1$ 的生成子图 $S$ 满足 $d_H(s, t) ⩽ d_S(s, t) ⩽ σ · d_H(s, t)$。对于边集 $F ⊆ E$，$G - F$ 是移除 $F$ 中所有边后的图。替换路径 $P(s, t, F)$ 是 $G - F$ 中从 $s$ 到 $t$ 的最短路径，其长度 $d(s, t, F) = d_{G - F}(s, t)$ 为替换距离。对于正整数 $f$，$f$ - 距离敏感性预言机（DSO）在查询 $(s, t, F)$（$|F| ⩽ f$）时报告替换距离 $d(s