18、有序覆盖的紧近似算法与在线最小生成树带预测问题解析

有序覆盖的紧近似算法与在线最小生成树带预测问题解析

1. GDMSVC的近似算法

对于广义最小和顶点覆盖（GDMSVC）问题，给定其线性规划松弛的最优分数解 $x$，算法按以下步骤对 $x$ 进行舍入：
1. 构建二分图 ：构造一个二分图 $D = (V ∪[|V|], E′)$，并使用 $x$ 定义边的权重函数 $\phi : E′ →[0, 1]$。这里，集合 $[|V|]$ 表示时间槽集合，$\phi$ 表示依赖舍入算法使用的概率。
2. 进行依赖舍入 ：对 $(D, \phi)$ 执行依赖舍入，将顶点分配到时间槽。可能会有多个顶点被分配到同一时间槽，将这个临时调度记为 $\tau$。
3. 确定最终调度 ：将分配到同一时间槽的所有顶点按任意顺序调度，最终调度记为 $\sigma$。

二分图 $D$ 的具体构造为：对于每个顶点 $v \in V$，设 $\gamma(v) : V →[|V|]$ 表示第一个时间瞬间 $t$，使得 $2 \sum_{t′≤t} x_{v,t} ≥1$。则 $E′ = {(v, t) | v \in V, 1 ≤t′ ≤\gamma(v)}$，权重函数 $\phi$ 定义如下：
[
\phi(e) =
\begin{cases}
2x_{v,t} & 1 ≤t < \gamma(v) \
1 - 2x_{v,<t} & t = \gamma(v)
\end{cases}
]

依赖舍入阶段会返回边的子集 $M