16、近似簇图中的支配着色与CD着色

近似簇图中的支配着色与CD着色

1 引言

对预着色扩展问题的研究表明，该问题在以双胞胎覆盖大小为参数时是固定参数可处理（FPT）的。本文引入了部分CD着色和部分支配着色的概念，并证明了它们相应的扩展问题可以快速解决，CD着色扩展问题能在FPT时间内解决，而支配着色扩展问题可在多项式时间内解决。同时，还证明了最优的CD着色（支配着色）可以通过扩展一个大小为$O(2^{O(k log k)})$的部分CD着色（部分支配着色）集合来构造，且该集合能在FPT时间内构建。

2 CD着色：以双胞胎覆盖大小为参数

2.1 孤立团的性质

• 观察4.2 ：在任何CD着色中，孤立团中的顶点必须被赋予唯一的颜色。
• 推论4.3 ：若$Q′ = {Q ∈Q | Q$是孤立的$}$，则$(G, ℓ) ≡(G - Q′, ℓ - |V (Q′)|)$。这意味着在处理CD着色实例时，可以考虑没有孤立团的等价实例。

2.2 部分CD着色的相关观察

• 观察4.4 ：设$\chi$是图$G$的任意CD着色，$c$是$\chi$在集合$M$之外使用的颜色，则$c$由$M$中的某个顶点支配。
• 观察4.5 ：设$\chi$是图$G$的任意CD着色，若$u, v ∈V (G)$且$N_G[u] = N_G[v]$，则交换$\chi$分配给$u$和$v$的颜色，同时保持其余顶点的着色不变，得到的$\chi′$仍是图$G$的