15、近似聚类图中的支配着色与类支配着色研究

近似聚类图中的支配着色与类支配着色研究

1. 引言

在生物信息学、社交网络和机器学习等领域的应用中，图常常基于数据点之间的某种相似性来定义边。因此，我们经常关注一个给定图与聚类图（每个组件都是团的图）的“接近程度”。衡量这种“接近程度”的一个常用指标是聚类编辑距离，即通过添加或删除最少数量的边使图成为聚类图所需的边数。另一个相关的流行参数是聚类顶点删除集大小（CVD 集大小），CVD 集是指删除后能使图成为聚类图的顶点子集，其大小是最小 CVD 集的规模。需要注意的是，聚类编辑距离为 k 的图，其 CVD 集大小最大为 2k，所以 CVD 集大小是一个相对更小的参数。

本文主要研究图着色的两个变体问题：支配着色（Dominator Coloring，DomCol）和类支配着色（Class Domination Coloring，CD Coloring）。图 G 的着色是一个函数 χ: V(G) → C，其中 C 是颜色集合。恰当着色要求相邻顶点颜色不同。颜色类 c 是指所有被染成颜色 c 的顶点集合。顶点 v 支配集合 S 意味着 S 中的所有顶点都与 v 相邻或就是 v 本身。支配着色要求对于图中的每个顶点 v，都存在一个颜色类 c 被 v 支配；类支配着色则要求对于每个颜色类 c，都存在一个顶点 v 支配该颜色类。具体问题定义如下：
- 支配着色（DomCol） ：
- 输入 ：图 G 和整数 ℓ。
- 问题 ：是否存在图 G 的一个支配着色 χ，使得 |χ| ≤ ℓ？
- 类支配着色（CD Coloring）