5、多区间图中参数化复杂度的支配问题研究

多区间图中参数化复杂度的支配问题研究

在图论和算法复杂度领域，对各种图结构上的支配集问题的研究一直是热点。本文主要探讨了多区间图中几种支配集问题的参数化复杂度，包括距离变体的完美码问题、支配集问题、连通支配集问题、独立支配集问题、支配团问题以及距离支配集问题等，并通过从 k - 多色团问题的固定参数可解（FPT）归约证明了这些问题的 W[1] - 困难性。

1. 距离变体的 k - 完美码问题

距离变体的 k - 完美码问题，记为 d - 距离 k - 完美码问题。研究表明，在单位 2 - 轨道区间图中，对于任意 d ≥ 2，d - 距离 k - 完美码问题关于参数 k 是 W[1] - 困难的。所有 W[1] - 困难性的证明都基于从 W[1] - 完全问题 k - 多色团问题的 FPT 归约。k - 多色团问题是指给定一个有 n 个顶点和 m 条边的图 G 以及一个顶点着色函数 κ : V(G) → {1, 2, …, k}，判断 G 是否有一个包含每种颜色恰好一个顶点的 k 个顶点的团。为了方便后续讨论，我们假设图 G 中没有连接相同颜色两个顶点的边。

2. 支配集问题

为了证明 co - 3 - 轨道区间图中 k - 支配集问题的 W[1] - 困难性，我们通过从 k - 多色团问题进行 FPT 归约。具体构造步骤如下：
- 顶点选择 ：设 v1, …, vn 是图 G 中的顶点集，按颜色排序使得每种颜色的顶点索引是连续的。对于每种颜色 i（1 ≤ i ≤ k），设 Vi = {vp | si ≤ p ≤ ti} 是颜色为 i 的顶点集。对于每个顶点 vp（1 ≤ p ≤ n），定义一个顶点 3 -