9、在线算法：开放在线叫车与已知位置的在线旅行商问题研究

在线算法：开放在线叫车与已知位置的在线旅行商问题研究

开放在线叫车的懒惰算法分析

在开放在线叫车问题中，懒惰算法的性能分析是关键。通过一系列的观察和引理，我们可以对算法的竞争力进行严格分析。

首先，有如下不等式关系：
- 通过观察 1a)，结合引理 1 和式(13)，可以得到：$\leq 2 \cdot Opt(t(i + 1)) + \frac{4}{3}|S(i)| - \frac{2}{3}T$，进一步推导可得$\leq 2 \cdot Opt(t(i + 1)) + \frac{2}{3}Opt(t(i))$，再经过观察 1a)处理，有$\leq (2 + \frac{2}{3}\alpha) \cdot Opt(t(i + 1))$，最终当且仅当$\alpha \geq \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{11}{12}}$时，$\leq (1 + \alpha) \cdot Opt(t(i + 1))$。

基于上述结果，我们可以证明定理 1。定理 1 的证明采用归纳法，目标是证明对于$\alpha \geq \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{11}{12}}$，每个调度都是$\alpha$-好的。在基础情况中，观察 2 已经完成证明。在归纳步骤中，区分了几种情况：
- 若前一个调度被中断，根据观察 3，归纳步骤成立。
- 若前一个调度未被中断，引理 1 表明归纳假设意味着$|S(i + 1)| \leq Opt(t(i + 1))$。进一步细分：
- 若$Opt[t(i + 1)]$在服务$r(i) {l,Opt}$之前装载$r(i + 1) {f,Opt}$，根据引理 2