38、傅里叶变换相关知识详解

傅里叶变换相关知识详解

1. 信号的傅里叶级数展开

信号 (f(t)) 可以展开为傅里叶级数：
[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{+\infty}a_n\cos\frac{\pi nt}{T}+\sum_{n = 1}^{+\infty}b_n\sin\frac{\pi nt}{T}]
进一步变形可得：
[f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{+\infty}\sqrt{a_n^2 + b_n^2}\left(\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}\cos\frac{\pi nt}{T}+\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}\sin\frac{\pi nt}{T}\right)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n = 1}^{+\infty}A_n\cos\left(\frac{\pi nt}{T}-\varphi_n\right)]
其中，展开系数 (a_n) 和 (b_n) 可通过以下积分计算：
[a_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)\cos\frac{\pi nt}{T}dt]
[b_n=\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(t)\sin\frac{\pi nt}{T}dt]
展开幅度 (A_n) 为：
[A_n=\sqrt{a_n^2 + b_n^2}]
相位 (\varphi_n) 满足：
[\cos\varphi_n=\frac{a_n}{\sqrt{a_n^2 + b_n^2}}]
[\sin\varphi_n=\frac{b_n}{