37、图像变换技术：从正交变换到傅里叶变换的全面解析

图像变换技术：从正交变换到傅里叶变换的全面解析

1. 正交变换概述

正交变换是一种特殊的图像变换，需同时满足以下三个条件：
1. 变换矩阵等于其逆变换矩阵的逆。
2. 变换矩阵的共轭等于其逆变换矩阵的逆。
3. 变换矩阵的转置等于其逆变换矩阵的逆。

满足上述条件的正变换和逆变换构成正交变换对，傅里叶变换就是典型的正交变换。正交图像变换是一类著名的图像压缩技术，关键在于将图像数据投影到一组正交基函数上，它是线性积分变换的特殊情况，常见的有离散余弦变换、傅里叶变换和哈尔变换等。

2. Walsh - Hadamard变换

2.1 Walsh变换

Walsh变换是一种可分离的正交变换，变换核归一化后的值为 +1 或 -1。在二维情况下，它与逆Walsh变换形式相同，均为对称变换，能构成变换对，表达式如下：
- 正变换：
[
W(u, v) = \frac{1}{N} \sum_{x = 0}^{N - 1} \sum_{y = 0}^{N - 1} f(x, y) \prod_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{b_i(x)b_{n - 1 - i}(u) + b_i(y)b_{n - 1 - i}(v)}
]
- 逆变换：
[
f(x, y) = \frac{1}{N} \sum_{u = 0}^{N - 1} \sum_{v = 0}^{N - 1} W(u, v) \prod_{i = 0}^{n - 1} (-1)^{b_i(x)b_{n - 1 - i}(u) + b_i(y)b_{n - 1 - i}(v)}
]