9、图像线性变换：从基础到应用

图像线性变换：从基础到应用

1. 线性变换简介

线性变换在图像处理领域有着广泛且直接的应用。其主要作用是提取图像中的关键特征，这些特征能够有效综合图像的全局信息，进而被应用于分类、压缩、描述等图像处理过程。此外，线性变换还可用于提升图像的视觉质量（增强）、减弱噪声（恢复）或降低数据维度（数据降维）。

以傅里叶变换（FT）为例，它是一种线性变换，在图像处理中十分有用。离散傅里叶变换（DFT）能够提取图像的特征频率，通过振幅（或幅度）和相位值以数值形式表示。高频部分代表图像中的线性几何结构，其中振幅描述强度变化（其平均值与图像的直流项，即图像的平均值成正比），而相位则指示这些几何结构的方向。

从几何角度看，线性变换可视为一种数学算子，它将输入数据投影（转换）到一个新的输出空间，在许多情况下，这个新空间能更好地突出输入数据的信息内容。对于傅里叶变换，输入图像通常表示颜色信息或光强度，而输出空间表示频率，即频谱域。线性变换将应用于以矩阵格式或向量集（行或列）描述的离散数字图像。

2. 一维离散线性变换

设 $x = (x_0, x_1, \cdots, x_{N - 1})$ 是一个包含 $N$ 个样本的序列，$T$ 是一个 $N×N$ 的变换矩阵，以下方程：
[y = T \cdot x \quad (2.1)]
定义了输入序列 $x$ 的线性变换，其输出是一个包含 $N$ 个元素的新序列 $y = (y_0, y_1, \cdots, y_{N - 1})$，也称为变换系数。$T$ 矩阵通常也被称为变换的核矩阵，它与卷积算子的掩码矩阵含义不同。方程 $(2.1)$ 表示线性变换，因为输出样本 $y_i$ 是 $T$ 的行