19、小波变换：从多分辨率到正交小波基

小波变换：从多分辨率到正交小波基

1. 多分辨率与里兹基

在小波变换的研究中，当满足一定条件时，我们可以得到里兹基。设 $\varphi(t) \in L^1 \cap L^2$，且 $\int \varphi(t)dt \neq 0$（即 $\Phi(0) \neq 0$），$\psi(t) = 2 \sum_n g_s(n)\varphi(2t - n)$，其中 $\sum_n |g_s(n)|^2 < \infty$。若对于某些 $a > 0$ 和 $b < \infty$，满足特定不等式，那么 ${\varphi(t - n)}$ 是其张成空间 $V_0$ 闭包的里兹基。

我们还可以对其进行归一化，得到正交序列 ${\tilde{\varphi}(t - n)}$，进而以常规方式生成正交小波基。具体来说，若定义新函数 $\tilde{\varphi}(t)$ 的傅里叶变换为：
$$\tilde{\Phi}(\omega) = \frac{\Phi(\omega)}{\left(\sum_k |\Phi(\omega + 2\pi k)|^2\right)^{\frac{1}{2}}}$$
则 $\tilde{\varphi}(t)$ 生成正交多分辨率，并且满足类似于特定形式的伸缩方程。由此，我们可以按常规方式定义相应的小波函数 $\tilde{\psi}(t)$，即若 $\tilde{\varphi}(t) = 2 \sum_n g_s(n)\tilde{\varphi}(2t - n)$，则选择 $\tilde{\psi}(t) = 2 \sum_n h_s(n)\tilde{\varphi}(2t - n)$，其中 $h_s(n) = (-1)^{n