24、粒子随机运动的均值场极限理论

粒子随机运动的均值场极限理论

在研究粒子的随机运动时，化学趋向性的底层结构是许多粒子受其他物质控制的运动。本文将介绍使用均值场近似方法将其建模为偏微分方程的相关内容。

1. 主方程

在半导体物理和高分子化学的输运理论中，晶格上的随机游走会引出扩散方程。通过查普曼 - 柯尔莫哥洛夫关系，可以推导出关于粒子密度 $p$ 的主方程：
[pt(x, t | x1, t1) = -\int dx’W(x \to x’)p(x, t | x1, t1) + \int dx’W(x’ \to x)p(x’, t | x1, t1)]
利用泰勒公式，可以得到克莱默斯 - 莫亚展开式：
[pt(x, t | x1, t1) = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k!} (-\partial_x)^k C_k(x)p(x, t | x1, t1)]
其中，$C_k(x) = \int W(x \to x + y)y^kdy = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{1}{\Delta t} \langle [x(t + \Delta t) - x(t)]^k \rangle_{x(t)=x}$。

兰格文方程
[\frac{dx}{dt} = v, \quad m\frac{dv}{dt} = -m\gamma v + R(t) + mF(x)]
决定了矩 $C_k$（$k = 0, 1, 2$）。经过两次绝热极限，可以得到克莱默斯方程、福克 - 普朗克方程和斯莫卢霍夫斯基方程。

在天体物理学的动力学理论中，斯莫卢霍夫斯基 - 泊松方程是许多自相互作用粒子均值场的流体动力学极限