14、变分法：理论与应用

变分法：理论与应用

1. 变分法概述

从分析的角度来看，像长度、面积和体积这样的几何量可被视为由参数化对象的函数所确定的值。每个这样的几何量都诱导了一个从函数集合到实数集 $\mathbb{R}$ 的映射，这种映射有时被称为泛函，因为它是定义在函数空间上的函数。在变分法中，给定一个泛函，需要找出它的极值函数。如果将泛函看作能量、拉格朗日量或自由能，这种表述可以描述物理问题。解决变分问题有两种方法：直接法和间接法。

2. 等周不等式

等周不等式探讨的是在给定曲线长度的情况下，何时所围区域的面积最大。下面我们将从解析证明和几何证明两个方面来详细阐述。

2.1 解析证明

• 问题设定 ：考虑平面 $\mathbb{R}^2$ 上的 Jordan 曲线 $\Gamma$，它是一条封闭且不自交的曲线，其所围的单连通区域为 $D$。问题是：当 $\Gamma$ 的长度 $L$ 固定时，$D$ 的面积 $A$ 何时达到最大值？答案是当 $\Gamma$ 为圆时，面积最大。
• 参数化曲线 ：将 $\Gamma$ 参数化为 $(x(t), y(t))$，其中 $t \in [a, b]$，满足 $(x(a), y(a)) = (x(b), y(b))$ 且当 $t \neq t’$ 时，$(x(t), y(t)) \neq (x(t’), y(t’))$，$t, t’ \in [a, b)$。曲线长度 $L$ 的计算公式为 $L = \int_{a}^{b} \sqrt{x’(t)^2 + y’(t)^2} dt$。
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