15、变分法中的间接与直接方法解析

变分法中的间接与直接方法解析

1. 解析力学基础

在解析力学中，若质量粒子 $x_i = x_i(t) \in R^3$（$i = 1, 2, \cdots, f$）受势能 $U = U(x_1, x_2, \cdots, x_f)$ 作用，牛顿运动方程为：
$\frac{dp_i}{dt} = -\frac{\partial U}{\partial x_i}$，$i = 1, 2, \cdots, f$
其中 $p_i = m_i \dot{x} i$ 表示动量。动能 $K$ 可表示为：
$K(\dot{x}_1, \dot{x}_2, \cdots, \dot{x}_f) = \frac{1}{2} \sum {i = 1}^{f} m_i \dot{x}_i^2$
且有 $p_i = \frac{\partial K}{\partial \dot{x}_i}$。

若用广义坐标 $(q_1, \cdots, q_f)$ 表示，则有：
$x_1 = x_1(q_1, \cdots, q_f; t)$
$\cdots$
$x_f = x_f(q_1, \cdots, q_f; t)$
进而可得 $\dot{x} i = \sum {j} \frac{\partial x_i}{\partial q_j} \dot{q}_j + \frac{\partial x_i}{\partial t}$。

将 $(q, \dot{q}, t)$ 视为独立变量，对 $\dot{x}_i$ 关于 $\dot{q}_j$ 求导可得 $\frac{\partial \dot{x