29、黎曼流形相关知识详解

黎曼流形相关知识详解

1. 局部等距映射的性质

若 $\phi: M \to N$ 是局部等距映射，那么有以下两个重要性质被保留：
- 若 $\Gamma_{\gamma}$ 表示沿曲线 $\gamma$ 的平行移动，$\Gamma_{\phi \circ \gamma}$ 表示沿曲线 $\phi \circ \gamma$ 的平行移动，则 $d\phi_{\gamma}(1) \circ \Gamma_{\gamma} = \Gamma_{\phi \circ \gamma} \circ d\phi_{\gamma}(0)$。
- 若 $\exp_p: T_pM \to M$ 是在点 $p \in M$ 定义的指数映射，$\exp_{\phi(p)}: T_{\phi(p)}M \to N$ 是在点 $\phi(p) \in N$ 定义的指数映射，则 $\phi = \exp_{\phi(p)} \circ d\phi_p \circ \exp_p$。

2. 黎曼齐性流形

2.1 基本定义

• 群 ：集合 $G$ 配备二元运算 $\lambda: G \times G \to G$，$(g_1, g_2) \to g_1g_2$，满足结合律（$g_1(g_2g_3) = (g_1g_2)g_3$）、存在单位元（$ge = eg = g$）以及每个元素 $g \in G$ 都有逆元 $g^{-1} \in G$ 使得 $gg^{-1} = g^{-1}g = e$。若对于所有 $g_1, g_2 \in G$ 都有 $g_1g_2 = g_2g_1$，则群 $G$ 是阿贝尔群（交换群）