2、数学建模与化学模型的深入剖析

数学建模与化学模型的深入剖析

1. 数学建模基础

1.1 矩阵指数与解的性质

在数学建模中，矩阵指数有着重要的应用。对于矩阵 $J$，有 $e^{tJ} = \begin{pmatrix} e^{tJ_1} \ \vdots \ e^{tJ_s} \end{pmatrix}$，若 $J_i$ 是 $n_i \times n_i$ 矩阵，则 $e^{tJ_i} = e^{\lambda_it} \begin{pmatrix} 1 & t & \cdots & \frac{t^{n_i - 1}}{(n_i - 1)!} \ 1 & \cdots & \cdots & \cdots \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ t & 1 & \cdots & \cdots \end{pmatrix}$。

根据这个表示，对于方程 $\dot{x} = Ax$（这里与矩阵指数相关），解 $x(t)$ 的性质与矩阵特征值 $\lambda_i$ 密切相关：
- 若对于任意 $i$，$\text{Re} \lambda_i < 0$，则 $\lim_{t \to +\infty} x(t) = 0$。
- 若对于任意 $i$，$\text{Re} \lambda_i \leq 0$ 且 $s = n$，则 $\sup_{t \geq 0} |x(t)| < +\infty$。
- 若存在某个 $i$ 使得 $\text{Re} \lambda_i > 0$，或者对于任意 $i$，$\text{Re} \lambda_i \le