10、模糊集理论：概念、性质与应用探索

模糊集理论：概念、性质与应用探索

1. 模糊概念引入：从沙漠选瓶问题谈起

想象这样一个场景：你在沙漠中已经一周没有喝水，此时面前出现两个瓶子，分别标记为 C 和 A。瓶子 C 标注着 LðCÞ ¼ 0:91，瓶子 A 标注着 Pr½A 2 L ¼ 0:91。你必须从其中一个瓶子中取水饮用，你会如何选择呢？

大多数人面对这个选择时，会考虑到瓶子 C 中的液体虽然可能是像沼泽水这样不太优质的水源，但不太可能是盐酸等致命液体。这里的 0.91 表示瓶子 C 中的液体与可饮用液体（如纯净水）有较高的相似度。而瓶子 A 有 0.91 的概率是可饮用的，这意味着在大量的试验中，大约 91%的情况下 A 中的液体是可饮用的，但仍有 9%的概率是致命的，相当于大约十分之一的风险。所以，大多数人会选择尝试饮用瓶子 C 中的液体。

进一步观察，如果我们发现瓶子 C 中装的是 Dixie 啤酒，瓶子 A 中装的是盐酸，此时瓶子 C 的隶属度值不变，而瓶子 A 的概率值从 0.91 降至 0.0。这个例子表明，模糊隶属度和概率代表着不同类型的信息：模糊隶属度表示对象与不精确定义属性的相似程度，而概率传达的是相对频率的信息。

2. 类型 - 1 模糊集的性质研究

在规则系统中，规则可能会使用“和”“或”“除非”“非”等词汇，但相关数学运算通常是基于使用“和”与“或”的规范规则进行的。因此，了解一些常用定律在不同 t - 范数和 t - 余范数下是否成立是很重要的。

以下是一些常见的集合论定律，以及它们在最大 t - 余范数和最小或乘积 t - 范数下是否满足的情况：
| 集合论定律 | 最小 t - 范数 | 乘积 t - 范数 |