48、联盟博弈的紧凑表示：类型与特性解析

联盟博弈的紧凑表示：类型与特性解析

在博弈论的研究中，简单的暴力算法虽然在复杂度上看似有一定优势，但对于涉及大量参与者的博弈问题，其计算能力十分有限。为了能够处理更复杂、更具现实意义的博弈问题，寻找更紧凑的博弈表示方式就显得尤为重要。接下来，我们将深入探讨几种常见的紧凑表示的联盟博弈。

加权多数博弈和加权投票博弈

加权多数博弈是一种用于编码投票情况的紧凑表示方式。对于每个参与者 (i)，会分配一个权重 (w_i)，设所有参与者权重之和为 (W = \sum_{i \in N} w(i))。当一个联盟 (S) 满足 (\sum_{i \in S} w(i) > \frac{W}{2}) 时，其联盟价值为 1，否则为 0。由于这种博弈的简单性，测试核心是否为空等价于测试是否存在否决玩家，这一过程可以快速完成。然而，计算该博弈的夏普利值却并非易事，已被证明是 #P 完全问题。

加权投票博弈是加权多数博弈的自然推广。在加权投票博弈中，不再规定获得超过半数选票的联盟获胜，而是明确指定一个最小票数，即阈值。这种表示方式可用于表示选择候选人所需票数并非简单多数的投票情况。

加权图博弈

加权图博弈（WGG）由一个无向加权图定义，图中的节点代表参与者，联盟的价值通过对连接联盟成员对应顶点的边的权重求和得到。这一表示方式明确建模了参与者之间的成对协同效应，并假设所有这些协同效应会以加法方式增加联盟的价值。对于一个有 (n) 个参与者的博弈，仅需 (\frac{n(n - 1)}{2}) 个权重即可表示，大大节省了表示空间。

以收益共享博弈为例，假设有一些收费高速公路连接着不同的城市，只有当连接的两个城市就收益分配达成协议时，它们才