47、合作博弈分析与核心概念解读

合作博弈分析与核心概念解读

在合作博弈的研究中，我们不仅关注如何公平地分配大联盟的收益，还需考虑分配方案的稳定性。接下来，我们将深入探讨合作博弈中的核心概念，如核心（Core）、ε - 核心（ε - core）、最小核心（Least core）和核仁（Nucleolus），并分析它们在不同场景下的应用。

核心（Core）的定义与计算

Shapley 值为大联盟成员间的收益分配提供了一种公平的方式，但它忽略了稳定性问题。我们不禁思考，在给定的分配方式下，参与者是否愿意组成大联盟，还是更倾向于组成小联盟？

核心的定义如下：
- 定义 ：在合作博弈$(N, v)$中，一个收益向量$x$属于核心，当且仅当对于所有子集$S \subseteq N$，都有$\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)$。这意味着没有子联盟有动机脱离大联盟，因为大联盟分配给它们的收益不少于它们独立行动所能获得的收益。
- 计算方法 ：核心的计算可通过以下线性可行性问题解决：
$\sum_{i \in S} x_i \geq v(S)$，对于所有$S \subseteq N$

核心可被视为非合作博弈中纳什均衡在合作博弈中的类似概念，但它要求更高，类似于强均衡的概念，强调对任意联盟偏离的稳定性。

核心的性质与存在性问题

尽管核心作为合作博弈的稳定性概念很有吸引力，但它存在两个问题：
1. 非空性 ：核心并不总是非空的。例如，在一个有四个政党的议会例子中，当满足51票要求的最小联盟为${A