点分树/动态点分治

前言

点分治是一种树上分治算法，常用于处理和路径相关的统计，或者是树上满足某种条件的点对数量。
在点分治的基础上，构造一棵支持修改的树，就成了点分树。

算法理解

点分治的核心是按照重心来划分连通块，我们在递归的时候，将上一层的重心作为这一层的重心的父亲，就成了点分树。容易知道，这棵树的树高是 $O(logn)$ 的，因为总共只会有 $O(logn)$ 层。下面盗用 辰星凌大佬的图 来看看点分树长什么样子。

如图，上面是原树，下面是点分树。可以看到，点分树和原树几乎没有任何关系。但是可以看到的是，点分树的子树点集对应原树上的一个连通块点集。
点分树有一些神奇的性质，让我们一一探讨一下：

1. 点分树上某一个点的子树属于同一个连通块
   回忆点分治的过程，我们可以知道，当一个点作为点分树子树的根时，它在点分治的时候作为分治中心，而它在点分树上的子树对应的点集和在原树分治时对应的点集相同。
2. 点分树所有子树大小之和为 $O(nlogn)$
   这是个很奇妙的性质，是点分树用来解决问题的核心。考虑每个点对子树大小和的贡献，因为一个点最多会被 $O(logn)$ 个父亲统计到，因此子树大小和为 $O(nlogn)$。

解决问题

点分树可以拿来解决什么问题呢？
比如求 $\sum _{y=1}^{n}dis(x,y)$。我们考虑一条路径 $(x,y)$，我们可以设一个分界点 $p$，把路径分成$(x,p),(p,y)$ 两段，然后分别维护这两段的信息。只不过，在点分树中，我们的 $p$ 为分治中心，也就是 $(x,y)$ 在虚树上的 $lca$。
对于任意一个 $y$，我们找到它和 $x$ 在虚树上的 $lca$，设为 $p$。可以知道 $(x,y)$ 可以被划分成 $(x,p),(p,y)$ 两段。
因此我们可以想到一个做法，$O(logn)$ 枚举 $x$ 的祖先节点，记为 $p$，再来统计 $p$ 中 $y$ 的贡献。而这种贡献一般通过简单的 容斥原理 求得，具体可以参照下文。

算法实现

点分树·震波

维护一棵带点权树，支持两种操作：修改 $x$ 的点权，查询离 $x$ 距离不超过 $k$ 的点的点权和。

下面用 $f{a}_x$ 表示 $x$ 在虚树上的父亲，$fatre{e}_x$ 表示 $x$ 在虚树上的祖先集合，$subtre{e}_x$ 表示 $x$ 在虚树上的子树点集，$A_x$ 表示 $x$ 的点权。

1. 首先建好点分树
2. 设 $f(i,j)=\sum _{x\in subtree(i),dis(x,i)\le j}{A}_x,g(i,j)=\sum _{x\in subtree(i),dis(x,f{a}_i)\le j}{A}_x$。
   让我们先观察一下 $f$ 和 $g$ 有什么不同，可以发现一个是 $dis(x,i)$，一个是 $dis(x,f{a}_i)$。倘若要求在 $f{a}_x$ 的子树中但不在 $x$ 的子树中的点对 $f{a}_x$ 的贡献，我们用 $g(x,j)-f(x,j-dis(x,f{a}_x))$ 即可。
   这样，在一对查询 $(x,k)$ 中，我们可以得到 $ans=f(x,k)+\sum _{i\in fatre{e}_x}g(i,k-dis(x,i))-f(i,k-dis(x,i))$，本质上是考虑 $(x,i),(i,y)$ 的所有 $(x,y)$ 点对，即下图中的红色部分。
   
   然后，插入的时候，我们 $O(logn)$ 爬 $x$ 的祖先 $i$，更新 $f(i)$ 和 $g(i)$，查询同理。
3. 我们接下来要考虑两个问题：
   第一，怎么求 $dis$ 呢，这个可以树剖求 $lca$ 来 $O(logn)$ 得到。其实可以使用欧拉序 + ST表来 $O(1)$ 求 $lca$，但考虑到预处理 ST表常数太大了，就用树剖吧。有个更高效的办法是，在点分治找到重心时，直接从这个点 $dfs$，来得到每个点离祖先的距离，这样就不用在线求距离了。
   第二，怎么维护 $f$ 和 $g$ 呢？注意到这是个前缀和的形式，我们可以考虑使用树状数组。但是，每个点开一个树状数组，会很白给吗？其实是不会的，考虑点分树上 $i$ 的子树中的点到 $f{a}_i$ 的距离，设 $i$ 的子树大小为 $s{z}_i$，那么距离取值为 $[1,s{z}_i]$，而 $i$ 的子树中的点到 $i$ 的距离取值为 $[0,\frac{s{z}_i}{2}]$，而且下标是从 $0$ 开始的，因此我们对 $i$ 开一个大小为 $\frac{s{z}_i}{2}+1$ 的 $f$ 和大小为 $s{z}_i+1$ 的 $g$ 即可，总空间是 $O(nlogn)$ 的。
4. 一些需要注意的点
   由于涉及到开空间，子树大小不能弄错，要用正规的点分治
   预处理每个点在虚树上的祖先和到祖先的距离的话，需要倒序枚举
   一般不需要把虚树的具体形态建出来，且虚树和原树基本没有关系，不要用原树上的边权来代入虚树中。有些初学者可能觉得只用一个树状数组即可，这就犯了这个错误了，因为虚树上的儿子，可能在原树上离父亲十万八千里。

下面给出代码。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e5 + 5;
vector<int> E[N];
struct Fenwick{
   
   
	int n;
	vector<int> c;
	void init(int n_){
   
   
		n = n_;
		c.resize(n_ + 1);
	}
	void add(int i, int x){
   
   
		for(i++; i <= n; i += i & -i) c[i] += x;
	}
	int sum(int i){
   
   
		int s = 0;
		for(i++, i = min(i, n); i > 0; i -= i & -i) s += c[i];
		return s;
	}
	int range(int l, int r){
   
   
		return sum(r) - sum(l - 1);
	}
}t1[N], t2[N];
namespace LCA{
   
   
	int sz[N]