【SLAM数学基础】李群与李代数 & BCH近似公式

三维旋转构成了三维旋转群 SO(3)，其对应的李代数为 $\mathfrak{so}$(3)；三维变换构成了三维变换群 SE(3)，其对应的李代数为 $\mathfrak{se}$(3)。

1.指数映射

李代数元素到李群元素的映射为指数映射，其中 $\mathfrak{so}$(3) 至 SO(3) 的指数映射为：

$$\exp ({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })=\mathbf{R}=\text{Exp}(\mathbf{\varphi })$$

具体计算公式由罗德里格斯公式给出：

$$\mathbf{R}=\cos \theta \cdot \mathbf{I}+(1-\cos \theta )\mathbf{n}{\mathbf{n}}^T+\sin \theta \cdot {\mathbf{n}}^{\wedge }=\exp ({\mathbf{\varphi }}^{\wedge })$$

其中 $\mathbf{\varphi }\in \mathfrak{so}(3)$ 可以分解为 $\mathbf{\varphi }=\theta \mathbf{n}$.

2.对数映射

从李群元素到李代数元素的映射为对数映射，记作

$$\mathbf{\varphi }=\log (\mathbf{R}{)}^{\vee }=\text{Log}(\mathbf{R})$$

其中$\mathbf{\varphi }\in \mathfrak{so}(3)$ 可以分解为 $\mathbf{\varphi }=\theta \mathbf{n}$，具体的计算过程由下式给出：

$$\begin{gathered} \theta =\arccos \left(\frac{tr(\mathbf{R})-1}{2}\right) \\ \mathbf{R}\mathbf{n}= \end{gathered}$$