【线性代数】齐次与非齐次线性方程组有解的条件

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已于 2023-09-27 22:38:40 修改

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分类专栏：机器人与SLAM数学基础文章标签：线性代数机器学习人工智能

于 2023-09-27 11:28:59 首次发布

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本文讨论了齐次线性方程组AX=0和非齐次线性方程组AX=b解的存在性和唯一性的条件，关键在于矩阵A的列向量的秩。齐次方程组有非零解当且仅当A的秩小于列数；非齐次方程组有解当b可由A的列向量线性表示，且A的秩等于A~（增广矩阵）的秩；唯一解条件为秩相等且A的列向量线性无关。

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齐次线性方程组 AX = 0 的解

$A\bm{A}$ 是 $\times n$ 矩阵，对其按列分块为 $[\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n]$ ，则齐次线性方程组 $AX=0\bm{AX} = \bm{0}$ 的向量表达式为：

$x_1\bm{a}_1 + x_2\bm{a}_2 + ... + x_n\bm{a}_n = \bm{0}$

该齐次方程组有非零解的充分必要条件是 $a1,a2,...,an\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n$ 线性相关，又因 $r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\}$ ，所以有以下定理：

定理1：齐次线性方程组 AX = 0 有非零解的充分必要条件是 r(A) < n，即r(A)小于A的列数。

定理1的等价描述：齐次线性方程组 AX = 0 只有零解的充分必要条件是 r(A) = n，即r(A)等于A的列数。

非齐次线性方程组 AX = b 的解

$A\bm{A}$ 是 $\times n$ 矩阵，对其按列分块为 $[\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n]$ ，则非齐次线性方程组 $AX=b\bm{AX} = \bm{b}$ 的向量表达式为：

$x_1\bm{a}_1 + x_2\bm{a}_2 + ... + x_n\bm{a}_n = \bm{b}$

可以看出，该方程组有解的充分必要条件是 $b\bm{b}$ 可以由 $a1,a2,...,an\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n$ 线性表示，这等价于

$r\{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\} = r\{\bm{b}, \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n\}$

于是，可以得到以下定理：

定理2：设 $A\bm{A}$ 是 $\times n$ 矩阵， $b\bm{b}$ 是 $\times 1$ 矩阵，则非齐次线性方程组 $AX=b\bm{AX} = \bm{b}$ 有解的充分必要条件是 $r\{\widetilde{A}\}$ ，这里 $A~\widetilde{A}$ 是该方程组的增广矩阵 $[A, b] .$

另外，从方程组的向量表达式可以看出，其有唯一解的充分必要条件是 $b\bm{b}$ 可以由 $a1,a2,...,an\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n$ 线性表示，且表示方式唯一。这不仅要求 $a1,a2,...,an{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n}$ 与 $b,a1,a2,...,an{\bm{b}, \bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n}$ 有相同的秩，还要求 $a1,a2,...,an{\bm{a}_1, \bm{a}_2, ..., \bm{a}_n}$ 线性无关，因此有以下定理：

定理3：设 $A\bm{A}$ 是 $\times n$ 矩阵， $b\bm{b}$ 是 $\times 1$ 矩阵，则非齐次线性方程组 $AX=b\bm{AX} = \bm{b}$ 有唯一解的充分必要条件是 $r\{\widetilde{A}\} = n$ ，这里 $A~=[A,b].\widetilde{A} = [A, b].$