slam系列-李群李代数

一、定义

什么是群：群（group）就是一种集合加上一种运算的代数结构。群有几个运算性质（封闭性，结合律，幺元，还有逆）

什么是李群：连续光滑的群

什么是李代数：李代数对应李群的正切空间，它描述了李群局部的导数。即：对于某个时刻的R(t)（李群空间），存在一个三维向量φ=（φ1，φ2，φ3）（李代数空间），用来描述R在t时刻的局部的导数：

                                                         

然后是特殊的李群李代数：正交变换群SO(3),so(3),欧氏变换群SE(3),se(3)的定义与转化关系：

so(3)的李代数空间就是由旋转向量组成的的空间，其物体意义就是旋转向量

二、求导

参考文献：https://www.cnblogs.com/gaoxiang12/p/5577912.html

2.1 微分模型

即定义在李代数上的增量：

                                    

 

2.2 扰动模型

将小量乘在李群上，而非加在李代数上。这种方式定义的模型称为扰动模型:

                                               

相比于微分模型少计算了一个雅可比矩阵，实际应用中一般采用扰动模型（左乘）

2.3 应用

对于欧式变换群SE(3)，利用扰动模型求解导函数（也就是对应的雅可比矩阵）：