点集相等的定义让中学生也能一下子明白2300年直线公理使数学将无穷多各异直线误为同一线

点集相等的定义让中学生也能一下子明白2300年直线公理使数学将无穷多各异直线误为同一线
黄小宁
知道什么是“一一对应”就能知道什么是一一对应相等。
点集相等及近似相等的定义：若点集A（B）各元点p（p'）有与之对应相等的元点p'（p）∈B（A）即A各元p与B各元p'可一一对应相等：p↔p'=p（恒等对应、变换）则称A=B；若可一一对应相等或近似相等则A≈B。
空间点集A各元点p保距平移变为点p'=p'（p）就使A平移变为元是点p'的B。A各元p与B各元p'一一对应：p↔p'。各点p平移变为点p'，若平移的距离ρ≈0则点p≈p'从而使A各元p与B各元p'一一对应近似相等：p↔p'≈p，据点集近似相等定义此时A≈B。当平移的距离ρ无限逼近0时点p'无限逼近点p而与p几乎重合，此时A与B几乎重合。凡有一点逻辑推理能力的学生都能推断：当且仅当ρ=0时各点p'与各点p才能一一对应相等使A=B。所以ρ不为0时A不=B。
可见点集相等及近似相等定义让中学生也能一下子看出应有
h几何起码常识：图A平移非0距离变为图B必不等于A。
中学数学有2300年直线公理，此理使几百年解析几何一直有“常识”：空间直线沿本身平移的变换必是变回自己的变换。据h几何起码常识直线A沿本身平移非0距离变为直线B不等于A——推翻2300年直线公理和几百年解析几何“常识”。