制作3D游戏所需的数学基础 - 平面

 

Summary

你怎样来表现平面呢？最好的方式就是从定义3D中平面的等式中构建一个结构。这个等式为：ax + by + cz + d = 0 那么这些数值代表什么呢？三元组表示平面的法线。从概念上讲，平面上的法线是一个跟该平面上所有的点都垂直的矢量。

 

今天我们所要讨论的是平面。对于3D游戏制作来说，平面就像是直线在2D游戏制作中的地位一样，它可以帮你完成各种各样的任务。平面被定义为一个无限大，无限薄的空间薄片，就像一张大纸。组成模型的各种三角形存在于各自的平面中。当你有了可以用来表示一个3D空间薄片的平面的时候，你就可以执行各种运算，就像点、多边形的分类和剪裁。

    因此，你怎样来表现平面呢？最好的方式就是从定义3D中平面的等式中构建一个结构。这个等式为：ax + by + cz + d = 0
那么这些数值代表什么呢？三元组<a,b,c>表示平面的法线。从概念上讲，法线是一个直接穿出平面的单位矢量。完整的数学定义是，平面上的法线是一个跟该平面上所有的点都垂直的矢量。

    等式中的d表示从平面到原点的垂直距离。这段距离的长度就是从原点出发，向平面作垂直直线直到跟平面相交，所得到的线段的长度。最后的三元组<x,y,z>表示满足等式的任何点。所有满足等式的点<x,y,z>的集合其实就是位于平面上的所有点。

    我给大家看的所有的图片都是经过严密组织的（呵呵，有点吹牛，ogdev上的朋友们不要笑话我），由于我们必须在2D画面中表示3D平面，因此图片中的3D平面都将被画成一条直线放到边缘，这可以使图形的绘制变得简单。如果有其他更容易的方式可以在2D画面中表现3D图片的无限性的话，请大家告诉我，呵呵，好让我也学习一种新的方法。

    下面是平面的2个例子。第一个平面的法线是背离原点的，因此d是负数（如果你没弄明白的话，可以自己尝试一些取样值，看得到的d是不是负数）。第二个平面的法线是朝向原点的，因此d为正数。大家可能已经猜出来了，如果我们的平面穿过原点，那么将会怎样？对了，d的值为0。图5.13和图5.14显示了这些关系：

图5.13 法线背离原点，d为负数


图5.14 法线朝向原点，d为正数

    大家应该注意到一个重点，那就是从技术上说，要使平面等式ax + by + cz + d = 0有效，法线<a,b,c>不一定是单位长度的。由于如果法线是单位长度的话，事情处理起来就好办一些，因此本书上的法线都是单位长度的。

    基本的plane3结构定义如下：
表5.14 The plane3 structure
=======================================================

    struct plane3 {
    
        point3 n; // Normal of the plane
        float d; // Distance along the normal to the origin
    
        plane3( float nX, float nY, float nZ, float D) :
            n( nX, nY, nZ ), d( D )
        {
           // All done.
    
        }
        plane3( const point3& N, float D) :
            n( N ), d ( D )
        {
            // All done.
        }
    
        // Construct a plane from three 3D points
        plane3( const point3& a, const point3& b, const point3& c);
    
        // Construct a plane from a normal direction and
        // a point on the plane
        plane3( const point3& norm, const point3& loc);
    
        // Construct a plane from a polygon
        plane3( const polygon<point3>& poly );
    
        plane3()
        {
           // Do nothing
        }
    
        // Flip the orientation of the plane
        void Flip();
    };
=======================================================

    用平面上给出的3个点构造一个平面是一件很简单的任务。你只需要使用由三个点组成的两个矢量(<point2 &#8722; point0> and <point1 &#8722; point0>)进行交叉乘积就可以找出平面的法线。产生法线并把它设置为单位长度后，你就可以通过把法线和3个点中任意一个点进行点乘积，并取该结果的相反数，从而找出d。表5.15是使用3个点构造一个平面的代码：
表5.15 用平面上的3个点构造一个平面
=========================================
    inline plane3::plane3(