3D游戏部分基础数学知识整理笔记1

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1.很多图形算法都以这样的方式进行优化：在第一象限中解决问题，根据对称性将解决方案反射到其他象限。
2.2D笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)用(x,y)形式标示一个点，2D极坐标(polar coordinates)用(距离,角度)形式标示一个点。
3.2D极坐标转为2D笛卡尔坐标，x=距离*cos(角度)，y=距离*sin(角度)。
4.2D笛卡尔坐标转为2D极坐标，距离=sqrt(x^2 + y^2)，角度=tan^-1(y/x)。
5.2D极坐标，游戏Wolfenstein和光线投射技术的基础。坐标变换对于很多有关弹道、瞄准和导航的问题很重要。
6.3D笛卡尔坐标，三条轴构成三个平面：x-y、x-z、y-z，每个平面都将空间分成两个半空间，三个平面就分成了8个卦限(octans)。
7.3D笛卡尔坐标分左手坐标系(LHS，简单理解为z正方向指向屏幕内)和右手坐标系(RHS，简单理解为z正方向指向屏幕外)。
8.3D柱面坐标(cylindrical coordinate)在2D极坐标的基础上增加了一条z轴。(射击游戏控制相机、环境映射)
9.3D球面坐标使用两个角度和到原点的距离来定义点。两角分别是正z轴的夹角，2D极角。
10.以a代表某希腊字母，一些三角恒等式：
正割：csc(a)=1/sin(a)
余割：sec(a)=1/cos(a)
余切：cot(a)=1/tan(a)
勾股定理：sin(a)^2+cos(a)^2=1
转换恒等式：sin(a)=cos(a-PI/2)
反射恒等式：
  sin(-a)=-sin(a)
  cos(-a)=cos(a)
角度相加恒等式：
  sin(a1+a2)=sin(a1)*cos(a2)+cos(a1)*sin(a2)
  cos(a1+a2)=cos(a1)*cos(a2)-sin(a1)*sin(a2)
  sin(a1-a2)=sin(a1)*cos(a2)-cos(a1)*sin(a2)
  cos(a1-a2)=cos(a1)*cos(a2)+sin(a1)*sin(a2)
11.应避免求角度，很慢。
12.矩阵平移、旋转、缩放等组合操作，可转为多个正弦和余弦等旋转变换的组合。不应盲目使用通用矩阵乘法。
13.向量可以表示速度、加速度等。向量被定义后，总是相对于原点的。
14.向量长度(范数norm)是各分量平方和的平方根。|u|
15.向量归一化(normalize)，向量除以其长度。
16.点积u.v = ux * vx + uy * vy(标量)
u.v = |u|*|v|*cos(a)
17.点积用来求夹角，夹角=cos^-1((u.v)/(|u|*|v|))
u和v之间夹角是直角则点积为0
u和v之间夹角是锐角则点积>0
u和v之间夹角是钝角则点积<0
18.点积作用之一，计算向量在给定方向上的分量(投影)
v必须被归一化。
u在v上的投影：Projv u = ((u.v)*v)/(|v|*|v|)
19.点积满足的乘法定律
u.v=v.u
u.(v+w)=(u.v+u.w)
k标量：k*(u.v)=(k*u).v=(u.(k*v))