3D游戏开发所需的数学基础——点和矢量

一：点（point）

点是N维空间（游戏中主要是二维和三维空间）中的一个位置，它没有大小，宽度这类概念。
在笛卡尔坐标系中，我们可以这样表示一个点。
二维空间中的点如：P=($P_x$, $P_y$)
三维空间中的点如：P=($P_x$, $P_y$, $P_z$)

二：矢量（vector, 也称为向量）

通常来讲，矢量是指N维空间中一种包含了模（magnitude）和方向（direction）的有向线段。
我们通常讲的速度就是一种典型的矢量，例如：一辆车的速度是向北40km/h。向北指明了矢量的方向，40km/h指明了矢量的模。
而标量只有模没有方向，生活中常说到的距离就是一种标量。例如：我家离公司只要100米，这里的100米就是一个标量。

1. 矢量的模指的是这个矢量的长度。一个矢量的长度可以是任意的非负数。
2. 矢量的方向则描述了这个矢量在空间中的指向。

我们可以用v=(x, y)来表示二维矢量，用v=(x, y, z)来表示三维矢量，用v=(x, y, z, w)来表示四维矢量。

三：点和矢量的区别

1. 点是一个没有大小之分的空间中的位置，而矢量是一个有模和方向但没有位置的量。
2. 矢量通常用于描述偏移量，它可以用于描述相对位置，即相对于另一个点的位置。
3. 如果我们把矢量的尾固定在坐标系原点，那么这个矢量的表示就和点的表示重合了。

四：矢量运算

1. 矢量和标量的乘法/除法

乘法只需把矢量的每个分量和标量相乘即可；
公式如下：kv = (k$v_x$, k$v_y$, k$v_z$)

同理，除法等同于和这个标量的倒数相乘；

注意： 对于乘法，矢量和标量的位置可以互换。但对于除法，只能是矢量被标量除。

几何意义： 把一个矢量v和一个标量k相乘，意味着对矢量v进行一个大小为|k|的缩放。

2. 矢量的加法和减法

只需把两个矢量的对应分量进行相加或相减即可，公式如下：
a + b = ($a_x$ + $b_x$, $a_y$ + $b_y$, $a_z$ + $b_z$)

a - b = ($a_x$ - $b_x$, aya_{y}