5、超越戴德金域的类NTRU公钥密码系统

超越戴德金域的类NTRU公钥密码系统

在密码学领域，公钥密码系统是保障信息安全传输的重要工具。传统的NTRU密码系统基于整数环，而本文将探讨基于戴德金域的NTRU密码系统，以及在此基础上扩展到四元数和八元数代数的新型密码系统。

戴德金域上的NTRU密码系统

戴德金域上的NTRU密码系统是对传统NTRU密码系统的推广。假设 $D$ 是一个戴德金域，考虑卷积多项式环 $R = D[x]/(x^N - 1)$，其中 $N$ 是一个固定的素数。卷积积 $h := f ⋆ g$ 定义如下：
设
[
f(x) = \sum_{i = 0}^{N - 1} f_ix^i = [f_0, f_1, \cdots, f_{N - 1}] {1\times N}, f_i \in D
]
[
g(x) = \sum {i = 0}^{N - 1} g_ix^i = [g_0, g_1, \cdots, g_{N - 1}] {1\times N}, g_i \in D
]
[
h(x) = \sum {i = 0}^{N - 1} h_ix^i = [h_0, h_1, \cdots, h_{N - 1}] {1\times N}, h_i \in D
]
其中
[
h_k = \sum {i = 0}^{k} f_ig_{k - i} + \sum_{i = k + 1}^{N - 1} f_ig_{N + k - i} = \sum_{i + j \equiv k \pmod{N}} f_ig_j
]