50、2-边/顶点连通诱导子图的枚举

2-边/顶点连通诱导子图的枚举

1. 算法复杂度分析

在处理搜索树中的节点时，为了限制时间复杂度，我们对算法的第4 - 6行和第12 - 14行应用了替代方法，以减少延迟。接下来分析空间复杂度：
- Seq存储当前组件C′和C之间的MRS序列，在遍历C′的所有子节点后弹出MRS，因此消耗O(n)的空间。
- 根据引理2和ComputeMrsC的定义，栈X使用O(n)的空间。
- 由于最大深度为n，Siz仅使用O(n)的空间。

下面证明算法2的时间和空间复杂度：
- 时间复杂度 ：算法2能枚举C(C, ∅)中的所有组件。若深度为奇数，则输出当前组件C′；若深度为偶数且MrsC(C′, X) = ∅，也输出C′；若深度为偶数且MrsC(C′, X) ≠ ∅，则在下一次迭代的第8行输出C′ \ Y。要证明第4行到第19行的操作能在O(n + θt)时间内完成。输出一个组件需O(n)时间，通过在深度变化前后加减MRS来跟踪差异，也需O(n)时间。根据定义，ComputeMrsC的工作时间为θt，其他操作是加减MRS，计算时间为O(n)。
- 空间复杂度 ：由于组件C′的大小随深度增加而单调递减，且MrsC(C′, X)最初为空的终止条件最多在n深度时满足，所以最大深度为n。对于组件C′ ∈ C(C, ∅)，Seq等价于C′和C之间的MRS序列，因为Seq在深度增加前存储新的MRS，在深度减少前丢弃。对于任何子集I ⊆ C′，I和MrsC(C′, I)两两不相交，所以X可以用O(n)的空间保存。显然，Siz使用O(n)的空间，因此整个空间为O(n + θs)。

2. 枚举2