49、高效枚举平面 3 - 树的所有生成树

高效枚举平面 3 - 树的所有生成树

1. 引言

生成树在图论研究中一直是重点，它在计算机网络、电信网络、交通网络、供水网络和电网等领域有广泛应用。对于一个连通无向图 $G$，其生成树是一个包含图中所有顶点的无环子图。枚举图 $G$ 的所有生成树，就是找出所有能以最少边连接所有顶点且不形成环的不同边组合。这在电路、路由网络和其他网络分析与优化应用中十分关键，例如，电气网络的电流与生成树中的电纳之和相关。

不过，生成树枚举存在一些问题，如指数级的时间复杂度、高昂的存储空间需求以及重复树的生成。目前已有各种不同效率的算法来解决这些问题，但还没有一种能在所有方面都达到最优的通用算法。

下面是一些早期的生成树枚举算法：
- Char 算法（1968 年） ：对于有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的图 $G$，该算法考虑所有 $n - 1$ 条边的组合作为潜在生成树。它给图 $G$ 的顶点从 1 到 $n$ 编号，选择第 $n$ 个顶点作为所有生成树的根，然后重复生成 $n - 1$ 个数字的序列，序列中的第 $i$ 个数字是从编号为 $i$ 的顶点出发的边的端点。该算法避免了重复树的生成，但需要检查序列是否构成生成树或其他循环子图。若 $\tau’$ 和 $\tau$ 分别表示图 $G$ 的非树序列和树序列的数量，其时间复杂度为 $O(m + n + \tau + \tau’)$，空间复杂度为 $O(nm)$，这是因为需要一个表格来列出每个顶点的所有相邻顶点。
- Rakshit 算法（1981 年） ：与 Char 算法类似，使用特权缩减关联边结构（PRIES）。缩减关联边结构（RIES）是