49、2-边/顶点连通诱导子图枚举的线性延迟算法

2-边/顶点连通诱导子图枚举的线性延迟算法

1. 引言

在图论中，子图枚举是一个重要问题，它旨在列出所有满足特定条件的子图，这在网络分析中可用于发现有趣的子结构。例如，团的枚举就是这样一个问题，团是指每个顶点都相互邻接的子图，可代表社交网络中两两为好友的用户组。除了团的枚举，人们还研究了满足较弱连通性条件的子图枚举，如伪团。

本文聚焦于满足基本连通性条件的子图枚举，即 2 - 边连通性和 2 - 顶点连通性。对于一个图 $G$，$V(G)$ 表示其顶点集，$E(G)$ 表示其边集，$n = |V(G)|$，$m = |E(G)|$。枚举算法的延迟指的是从算法开始到第一个输出、任意两个连续输出之间以及最后一个输出到算法停止的计算时间。若延迟受输入大小的多项式（或线性函数）限制，则算法具有多项式延迟（或线性延迟）。

本文的主要成果总结为以下两个定理：
- 定理 1 ：对于一个简单无向图 $G$，其所有 2 - 边连通诱导子图可以在 $O(n + m)$ 的延迟和空间内枚举。
- 定理 2 ：对于一个简单无向图 $G$，其所有 2 - 顶点连通诱导子图可以在 $O(n + m)$ 的延迟和空间内枚举。

此前，Ito 等人首次研究了 2 - 边连通诱导子图的枚举，提出了基于反向搜索的多项式延迟算法，延迟为 $O(n^3m)$。Haraguchi 和 Nagamochi 研究了合流集系统中的枚举问题，该问题包含了 $k$ - 边连通（或 $k$ - 顶点连通）诱导子图的枚举作为特殊情况，得到了延迟为 $O(min{k + 1, n}n^5m)$（或 $O(min{k + 1,