18、最小热带连通集的枚举算法

最小热带连通集的枚举算法

在图论研究中，最小热带连通集的枚举是一个重要的问题。本文将介绍针对不同类型图（一般图、弦图和区间图）的最小热带连通集枚举算法，以及这些算法的运行时间分析。

1. 一般图的算法选择

对于一般图，为了实现期望的运行时间，需要从特定引理中给出的算法中进行选择。设图 $G$ 中不同颜色的数量为 $C = \gamma n$（$\gamma$ 为比例系数，$n$ 为顶点数）。
- 当 $\gamma$ 足够大（即图 $G$ 中颜色数量足够多）时，使用引理 6 中的算法，其运行时间为 $O^ ((2^{1/\gamma} - 1)^{\gamma n}) \leq O(1.999958^n)$。
- 当 $\gamma$ 较小时，使用另一个算法，其运行时间为：
[
\max\left{
\begin{array}{l}
\max_{\alpha:\gamma\leq\alpha\leq1 - 2\gamma} 2^{H(\frac{\gamma}{\alpha})\cdot\alpha n} \cdot \min\left{2^{H(\frac{\gamma}{1 - \alpha})\cdot(1 - \alpha)n} \cdot 3^{\frac{1 - \alpha}{3}n}, 2^{(1 - \alpha)n}\right},\
\max_{\alpha:1 - 2\gamma\leq\alpha\leq1} 2^{H(\frac{\gamma}{\alpha})\cdot\alpha n} \cdot 2^{(1 - \alpha)n}
\end{array}
\right