25、正则区间图的随机生成、枚举与动态识别算法

正则区间图的随机生成、枚举与动态识别算法

正则区间图的字符串枚举与图枚举

在处理字符串时，为了检查一个字符串是否为规范的，我们定义了左字符串 (x_L = x_1x_2 \cdots x_n) 和右字符串 (x_R = x_{2n}x_{2n - 1} \cdots x_{n + 1})。当且仅当 (x_L \leq x_R) 时，字符串 (x) 是规范的。为了能在 (O(1)) 时间内完成检查，我们维护一个双向链表 (L)，它记录了 (x_L) 和 (x_R) 中不同字符的索引。当 (x = r^n) 时，(x_L = x_R)，链表 (L) 初始化为空。一般来说，链表 (L) 为空当且仅当 (x) 是可逆的。我们可以通过比较 (x_{L}[L[1]]) 和 (x_{R}[L[1]]) 来检查 (x_L) 是否小于 (x_R)。当 (x) 被 (x[a]) 更新时，(x_L) 和 (x_R) 最多在两个连续的索引处发生变化。为了找到这些索引，我们还维护了与 (a) 相关的两个指针，分别指向 (L[i]) 和 (L[i + 1])，其中 (L[i] < a < L[i + 1])。利用这些指针，链表 (L) 的更新可以在 (O(1)) 时间内完成。

通过引理 5 和 6 可知，在遍历家族树的过程中，我们可以在 (O(1)) 时间内维护每个字符串的可翻转索引列表。由此得到引理 7：我们的枚举算法使用 (O(n)) 空间，运行时间为 (O(|S^n|))。不过，该算法虽然平均能在 (O(1)) 时间内生成 (S^n) 中的每个字符串，但在生成对应家族树中大树叶子的字符串后，可能需要从深度递归调用中返回而不输出任何字符串，这会花费较多时间，所以在最坏情况下不能在 (O(1)) 时间内生成每个字