46、最小加权和装箱问题的两种算法改进分析

最小加权和装箱问题的两种算法改进分析

1. 引言

装箱问题是计算机科学中的一个基础问题，目标是将一组物品装入尽可能少的相同箱子中，在物流、数据存储和云计算等多个领域都有应用。不过，传统装箱问题将所有箱子视为“同等优质”，但在涉及时间因素的应用中并非总是如此。

以安排(n)位患者与医生进行医疗预约为例，每位患者有服务时间和代表健康状况严重程度的权重。每天检查所有患者的总时间不能超过固定阈值。这里的每一天相当于一个箱子，编号为(1)、(2)等，应优先选择编号小的箱子，特别是对于权重高的患者，因为这能减少患者的等待时间。

最小加权和装箱问题（MWSBP）中，输入是一组(n)个物品，每个物品有大小(s_i \in (0, 1])和权重(w_i > 0)。目标是找到一种可行的物品分配方案，将物品分配到箱子中，使得总成本最小。即把集合([n] := {1, \ldots, n})划分为(B_1, \ldots, B_p)，满足(\sum_{i \in B_k} s_i \leq 1)对所有(k \in [p])成立，将物品(i)放入箱子(B_k)的成本是(k \cdot w_i)。用数学公式表示，可行分配方案的成本为：
(\Phi(B_1, \ldots, B_p) := \sum_{k = 1}^{p} k \cdot w(B_k) = \sum_{k = 1}^{p} \sum_{j = k}^{p} w(B_j))

另一种解释是，有一组单位处理时间的作业，要在一台批处理机器上进行调度，机器每次能同时处理总大小不超过(1)的一批作业，目标是最小化作业完成时间的加权和。

对于给定的MWSBP实例和算法ALG，用OPT表示最优解的成本，