47、两种算法的改进分析及自定界数字处理

两种算法的改进分析及自定界数字处理

1. 最小加权和装箱问题算法分析

1.1 算法相关界的推导

在最小加权和装箱问题（MWSBP）中，存在一种装箱方式的上界表达式：
[
OPT \leq \sum_{i = 1}^{n_1} i + \sum_{j = 2}^{k + 1} \left(1 - 2^{-(k + 2 - j)} + (k + 2 - j) \cdot \epsilon\right) \cdot \sum_{i = n_1 + \cdots + n_{j - 1} + 1}^{n_1 + \cdots + n_j} i
]
表达式（2）和（3）不太适合寻找能产生关于 (R(KB)) 最佳下界的 (n_i) 值。接下来的引理提供了一种方法，让我们可以专注于最大化两个二次式的更易处理的比率。

引理 4：设 (L) 是一个 ((k + 1) \times (k + 1)) 的下三角矩阵，其下三角元素都为 1，(u := [\frac{1}{2^{k + 1}}, \frac{1}{2^{k + 1}}, \frac{1}{2^k}, \cdots, \frac{1}{2^2}] \in \mathbb{R}^{k + 1})，(v := [\frac{1}{2^k}, \frac{1}{2^{k - 1}}, \frac{1}{2^{k - 1}-1}, \cdots, \frac{1}{2^2 - 1}, \frac{1}{2 - 1}] \in \mathbb{R}^{k + 1})，并且 (U := Diag(u))，(V := Diag(v))。那么，对于所有 (x \in \mathbb{R}^{k + 1}_{>