23、有向流网络的容量保持子图研究

有向流网络的容量保持子图研究

在算法领域，有向流网络的容量保持子图问题是一个具有重要研究价值的课题。本文将深入探讨该问题，介绍相关概念、证明其复杂性，并给出高效的算法解决方案。

1. 问题引入

我们引入了自然问题 MCPS（Minimum Capacity-Preserving Subgraph），该问题可能会引起算法界的广泛关注。基于 MED（Minimum Edge Dominating Set）在有向无环图（DAG）上求解较为简单这一事实，人们可能期望在 DAG 上也能为 MCPS 找到多项式算法。然而，研究表明，MCPS 中最复杂的核心部分即使在 DAG 上也无法在亚对数因子内近似，除非 P = NP。

2. DAG 上的不可近似性

由于容量保持子图总是包含一个 MED（可能相当大），在稀疏图上可以通过简单返回一个任意可行解来近似 MCPS。

观察 3 ：每个连通 MCPS 实例的可行解都是一个 m/n - 1 近似解。
- 证明 ：每个可行的 MCPS 解必须包含至少与 MED 一样多的边，以确保对于所有从 u 可达 v 的顶点对 (u, v) 容量为 1。连通图的 MED 也是连通的。因此，最优 MCPS 解包含所有 m 条原始边中的至少 n - 1 条。

为了聚焦问题核心复杂度，我们考虑 MCPS 的一个略微修改版本 MCPS ，其目标函数为 |E′| - mMED，不考虑 MED 中的边数。通过从集合覆盖（Set Cover，SC）的决策变体进行归约，我们证明了在 DAG 上近似 MCPS 到亚