24、有向流网络的容量保持子图及时间图的时间线覆盖算法

有向流网络的容量保持子图及时间图的时间线覆盖算法

在网络科学和图论领域，有向流网络的容量保持子图以及时间图的时间线覆盖问题是两个重要的研究方向。下面将详细介绍这两个方面的相关内容。

有向流网络的容量保持子图

在有向流网络中，最大容量保持子图（MCPS）问题是一个关键问题。对于层状串并联图（LSP）上的MCPS问题，我们可以采用一种直观的方法来解决。

层状串并联图上的MCPS问题

每一个LSP都可以划分为一组边不相交的双串并联图（DSP）。我们可以考虑最大边锚定子图（MEAS），即对于边 $e \in E$，不存在其他边 $e’ \in E \setminus {e}$ 使得 $E(G\langle e\rangle) \subseteq E(G\langle e’\rangle)$。由于LSP是P1图，每个MEAS必定是一个DSP，只需要覆盖其边即可（见定理11）。而且，对于每条边 $e’’ \in E$，其边锚定子图 $G\langle e’‘\rangle$ 都包含在单个MEAS中（因为LSP是P2图）。因此，我们可以识别出MEAS，并在每个MEAS上运行算法1来获得最优的MCPS解决方案。不过，这里我们给出一个更直接但功能等效的算法2。

以下是算法2的具体步骤：

算法2. 计算LSP中的最优MCPS。
输入: LSP G = (V, E)，保留比率 α ∈(0, 1)。
1: E′ ← ∅
2: 对于每条边 e ∈ E: μe ← G⟨e⟩ 中的边数
3: 按 μe 非降序对所有边 e ∈ E 进行排序
4: 按顺序对每条边 e = uv ∈