7、图燃烧问题的算法与核化研究

图燃烧问题的算法与核化研究

1. 基于到阈值图距离的参数化算法

在图燃烧问题中，我们考虑一个连通图 $G = (V, E)$ 以及一个子集 $X \subseteq V$，其中 $|X| = t$，并且诱导子图 $G[V \setminus X]$ 是一个阈值图。我们的目标是设计一个固定参数可解（FPT）算法来解决这个问题。

已知图燃烧问题在某些参数化下是 FPT 的，例如到余图（cographs）的距离和到分裂图（split graphs）的距离。而到阈值图的距离这一参数涵盖了前面两者，因为阈值图是余图和分裂图的交集。我们这里给出的算法运行时间为单指数时间，优于之前已知的算法。

定理 3 表明，图 $G$ 上的图燃烧问题可以在 $t2^t n^{O(1)}$ 时间内解决。证明过程如下：
- 由于 $G[V \setminus X]$ 是阈值图，存在一个顶点排序 $\Pi$，使得每个顶点对于 $\Pi$ 中在它之前的顶点要么是支配顶点，要么是孤立顶点。设 $v_d \in V \setminus X$ 是 $\Pi$ 中的最后一个支配顶点，将 $V \setminus X$ 划分为 $(D, I)$，其中 $D$ 包含 $\Pi$ 中直到 $v_d$ 的顶点，$I$ 包含其余所有顶点，$I$ 是 $G[V \setminus X]$ 中的最大孤立顶点集。
- 我们观察到图 $G$ 最多可以在 $t + 3$ 步内被燃烧。在最多 $t$ 步内，我们将 $X$ 中的每个顶点设置为火源。因为 $I$ 中的每个顶点在 $X$ 中至少有一个邻居，所以 $I$ 中的所有顶点最多在 $t + 1$ 步内被燃烧。同样，由于 $D$ 中至少有一个顶点在 $X$ 中有邻居，并且