3、重新审视消防问题的参数化复杂度

重新审视消防问题的参数化复杂度

在图论和算法领域，消防问题一直是研究的热点。本文将深入探讨几个与消防问题相关的变体，包括拯救 k 个顶点（Saving k Vertices）、最大 k 顶点保护（Maximum k-Vertex Protection）以及除 k 个顶点外拯救所有顶点（Saving All But k Vertices）问题，并分析它们在不同类型图（如树、一般图、具有有界树宽的图等）上的复杂度和算法。

1. 拯救和保护顶点问题

这部分主要研究拯救 k 个顶点和最大 k 顶点保护问题的复杂度。这些问题在树上已知是固定参数可处理的，但在一般图上的复杂度此前未知。

1.1 一般图上的 W[1]-困难性

证明了拯救 k 个顶点和最大 k 顶点保护的决策变体即使在二分图上也是 W[1]-困难的，通过从 k - 团问题（k - Clique）进行归约来证明。
- 定理 1 ：拯救 k 个顶点问题即使在二分图上也是 W[1]-困难的。
- 证明思路 ：给定 k - 团问题的实例 (G, k)，构造一个二分图 G′。对于 G 中的每条边 (u, v)，添加一个顶点 suv；对于 G 中的每个顶点 v，添加一个顶点 sv。添加根顶点 s 和一系列顶点 ai,j 并进行连接。设置 k′ = k + ( \binom{k}{2} ) + 1。证明 (G′, s, k′) 上的拯救 k 个顶点问题是肯定实例当且仅当 (G, k) 上的 k - 团问题是肯定实例。
- 定理 2 ：k 顶点保护问题即使在二分图上也是 W[1]