6、图燃烧问题与平衡移动问题的复杂度研究

图燃烧问题与平衡移动问题的复杂度研究

在图论和算法复杂度领域，有两个重要的问题值得深入探讨，分别是平衡移动问题（Balanced Mobiles）和图燃烧问题（Graph Burning）。下面将详细介绍这两个问题的相关研究成果。

平衡移动问题

平衡移动问题在输入为满二叉树时被证明是强NP难的。这意味着该问题的判定版本是（强）NP完全的。因为对于一个潜在的解决方案，可以在多项式时间内验证其是否有效，所以该问题属于NP问题。

不过，当树的结构未给定或者权重为常数时，该问题的复杂度仍未明确。在已有证明中，构造的权重依赖于$n$，所以目前还无法直接将现有的归约方法扩展到这些情况。在参数化复杂度方面，已知该问题在以最优不平衡度为参数的情况下属于参数化类XP，但是否存在固定参数算法仍有待研究。

图燃烧问题

图燃烧问题是一个用于模拟网络中信息传播的模型。给定一个图$G$和一个整数$k$，该问题询问图$G$是否能在最多$k$轮内被“燃烧”。在每一轮中，选择一个未燃烧的顶点作为火源，然后在后续轮次中，火会从每个已燃烧的顶点传播到其所有邻居顶点，直到图中所有顶点都被燃烧。图$G$的最小燃烧轮数被称为图$G$的燃烧数，记为$b(G)$。

问题背景

图燃烧问题不仅在一般图上是NP完全的，在许多受限图类中也是如此。例如，在最大度为3的树、蜘蛛图和路径森林、最大度为3的毛毛虫图、区间图、置换图和圆盘图等图类中，该问题都是NP完全的。不过，在cographs和分裂图上，该问题可以在多项式时间内解决。在有向图中，计算有向树的燃烧数是NP难的，并且该问题在有向无环图上是W[2]-完全的。

参数化复杂度研