2、图论中参数化问题的研究进展

图论中参数化问题的研究进展

1. 问题定义与基础概念

在图论的研究中，有几个重要的问题值得关注。首先是关于图的一些基本定义，对于图 $G$，我们用 $\mu(G)$ 表示 $G$ 中最大匹配的大小。

• 最大匹配之上的顶点覆盖问题（Vertex Cover above Maximum Matching）
  • 参数 ：$k$
  • 输入 ：图 $G = (V, E)$ 和整数 $k$
  • 问题 ：在图 $G$ 中是否存在一个大小至多为 $\mu(G) + k$ 的顶点覆盖？
• 近似 2 - SAT 问题（Almost 2 - SAT）
  • 参数 ：$k$
  • 输入 ：2 - SAT 公式 $\Phi$ 和整数 $k$
  • 问题 ：是否存在一个大小至多为 $k$ 的子句集合 $X$，删除这些子句后 $\Phi$ 可满足？

2. 最大匹配之上的顶点覆盖问题的求解

可以证明最大匹配之上的顶点覆盖问题是节点多路割问题（Node Multiway Cut）参数化在 LP 下界之上（NMWC - a - LP）的一个特殊情况