60、加速随机牛顿法与随机子模最大化的高效策略

加速随机牛顿法与随机子模最大化的高效策略

1. 加速随机牛顿法的核心算法

在优化问题中，我们常常需要求解目标函数的最优解。对于目标函数 (f(x))，牛顿法是一种常用的迭代优化方法，它通过计算目标函数的Hessian矩阵的逆来更新迭代点。然而，对于大规模问题，计算Hessian矩阵及其逆的代价非常高。为了解决这个问题，我们提出了一种基于Chebyshev估计器的加速随机牛顿法。

首先，我们有如下的理论基础：
设 (A) 是对称正定矩阵，(\alpha) 和 (\beta) 分别是 (A) 的最小和最大特征值。对于给定的 (\hat{X} 0)，我们可以通过递归方式计算 (\hat{X}_k)：
(\begin{cases}
\hat{X}_1 = (I - \nu A) \hat{X}_0 + \nu I \
\hat{X} {k + 1} = \rho_k [(I - \nu A) \hat{X} k + \nu I] + (1 - \rho_k) \hat{X} {k - 1}, \quad k = 1, 2, \cdots
\end{cases})
其中 (\nu = \frac{2}{\alpha + \beta})，(\rho_1 = 2)，(\rho_k = \left(1 - \frac{1}{4\xi^2}\right) \rho_{k - 1}^{-1})，(\xi = \frac{\beta + \alpha}{\beta - \alpha})。

如果我们将 (A) 设为Hessian矩阵，那么 (\hat{X}_k) 可以用来近似Hessian矩阵的逆。这