13、并行机器固定顺序调度与在线子模最大化算法解析

并行机器固定顺序调度与在线子模最大化算法解析

并行机器固定顺序调度

在并行机器固定顺序调度问题中，有几个关键的研究方向和成果。

常数因子近似

对于作业具有任意史密斯比率的实例 $I$，我们通过将权重向上取整，使得史密斯比率为 $\gamma$ 的幂（$\gamma$ 后续定义），然后将其缩放至 $(0, 1)$ 区间，得到实例 $I_{\gamma}$。设 $opt_I$ 和 $opt_{I_{\gamma}}$ 分别为实例 $I$ 和 $I_{\gamma}$ 的最优成本。由于调度成本与权重呈线性关系（见公式 (1)），且权重不影响可行性，所以任何调度 $\mu$ 在 $I_{\gamma}$ 上的成本至多为 $\gamma^{-1}$ 倍其在 $I$ 上的成本，并且 $opt_I \leq opt_{I_{\gamma}}$。
我们用 $\mu$ 和 $opt_{lp}$ 分别表示 $\beta$ 点调度和 (LP) 在 $I_{\gamma}$ 上的最优成本。根据引理 4、命题 2 和定理 2，$\mu$ 在 $I$ 上的成本至多为：
[
\frac{3}{2} \left( \frac{4}{1 - \sqrt{\gamma} - 3} \right) \cdot opt_{lp} \leq \frac{3}{2} \left( \frac{4}{1 - \sqrt{\gamma} - 3} \right) \cdot opt_{I_{\gamma}} \leq \frac{3}{2} \left( \frac{4}{1 - \sqrt{\gamma} - 3} \right) \cdot opt_{I_{\gamma}^{-1}}