46、跨货币模型的数学建模与计算

跨货币模型的数学建模与计算

1. 模型基础与测度变换

在金融数学建模中，对于外汇（FX）相关的随机过程，我们会遇到不同的测度。从外国测度转换到本国测度时，外国伦敦银行同业拆借利率（Libor rates）的布朗运动表示会发生变化。例如，在特定方程（15.44）中，布朗运动 $W_{f,T}^k(t)$ 上的标记消失，这是测度转换的一个标志。

由于外汇的随机波动率过程 $v(t)$ 与本国和外国的 Libor 利率 $\ell_d^k(t)$ 和 $\ell_f^k(t)$ 相互独立，在 $P_d(t, T)$ - 测度下，$v(t)$ 的动态方程为：
[dv(t) = \kappa(\bar{v} - v(t))dt + \gamma\sqrt{v(t)}dW_T^v(t)]

然而，包含随机方差（如上述方程）以及主要基础过程之间相关性的模型并非仿射形式。

2. 线性化与前向特征函数推导

原模型（15.44）不是仿射形式，因为它包含诸如 $\xi_{j,k}(t)/(1 + \tau_{j,k}\ell_{j,k}(t))$ 的项，其中 $\xi_{j,k} = \vartheta_{j,k}^ \ell_{j,k}(t) + (1 - \vartheta_{j,k}^ )\ell_{j,k}(t_0)$，$j \in {d, f}$。为了推导近似模型的特征函数，我们采用冻结 Libor 利率的标准做法，即：
[\ell_d^k(t) \approx \ell_d^k(t_0) \Rightarrow \xi_d^k \equiv \ell_d^k(t_0)]
[\ell_f^k(t)