4、非经典逻辑的证明复杂性：下界与系统模拟

非经典逻辑的证明复杂性：下界与系统模拟

1. 非经典逻辑证明复杂性的基础性质

在非经典逻辑的证明复杂性研究中，有几个重要的基础性质值得关注。

1.1 可行析取性质

对于直觉主义逻辑，Buss、Mints和Pudlák证明了其具有可行析取性质。即对于直觉主义逻辑的标准自然演绎演算（它与通常的直觉主义Frege系统多项式等价），存在一个算法A，对于析取式ϕ∨ψ的每个证明π，算法A能在π的大小的多项式时间内输出ϕ或ψ的证明。

随后，Ferrari、Fiorentini和Fiorino将这一结果扩展到了更多逻辑，包括直觉主义自然演绎、S4、S4.Grz和S4.1的自然演绎系统，以及GL和Fisher Servi的IK的Frege系统。

1.2 可行插值性质

可行插值是证明复杂性中获得下界的一种通用方法。在直觉主义逻辑中，Buss和Pudlák证明了其具有可行插值性质。从直觉主义重言式
((p_1 ∨¬p_1) ∧· · · ∧(p_n ∨¬p_n) →ϕ_0(\overline{p}, \overline{q}) ∨ϕ_1(\overline{p}, \overline{r}))
（其中(\overline{p})、(\overline{q})、(\overline{r})是不同的变量序列，(\overline{p})是(\phi_0)和(\phi_1)的公共变量）的证明π，我们可以构造一个大小为(|\pi|^{O(1)})的布尔电路C，使得对于每个输入(\overline{a} \in {0, 1}^n)，如果(C(\overline{a}) = i)，那么(\phi_i(\overline{p}/\overlin