1、非经典逻辑证明复杂性的探索

非经典逻辑证明复杂性的探索

在当今计算机科学领域，逻辑方法的应用无处不在。而证明复杂性作为一个跨学科领域，对于理解定理证明过程的复杂性起着关键作用。近年来，非经典逻辑的证明复杂性研究成为了热点，本文将为你详细介绍这一领域的相关内容。

1. 证明复杂性概述

证明复杂性主要利用逻辑、复杂性和组合学的技术，旨在理解定理证明程序的复杂性。传统上，命题证明是证明复杂性研究的主要对象，但在过去十年中，非经典逻辑因其更丰富的表达能力和众多应用，也受到了深入研究。

2. 命题证明复杂性

• 基础定义 ：命题证明复杂性的起点源于Cook和Reckhow的工作。他们将命题证明系统定义为多项式时间可计算的函数，其值域为所有命题重言式的集合。并且指出，存在一个对所有重言式都有多项式大小证明的命题证明系统（多项式有界证明系统），当且仅当NP类在补运算下封闭。这引出了Cook - Reckhow计划，即通过证明越来越强的命题证明系统不是多项式有界的，来分离NP和coNP（进而分离P和NP）。
• 重要成果 ：Haken在1985年取得了重要突破，他证明了对于描述鸽巢原理的一系列命题公式，Resolution证明系统的证明大小呈指数级下界。此后，许多其他命题系统，如Nullstellensatz系统、Cutting Planes、Polynomial Calculus和有界深度Frege系统等，也被证明对于具体的重言式序列存在指数级的证明长度下界。
• 证明技术 ：为了证明这些下界，人们开发了多种通用方法和技术，如Krají