2、命题证明系统与非经典逻辑基础

命题证明系统与非经典逻辑基础

1. 命题证明系统概述

命题证明系统有多种类型，如真值表、树状消解、零点定理消解、多项式演算、PCR、有界深度弗雷格、切割平面、弗雷格、扩展弗雷格和ZFC等。这些系统存在模拟顺序，部分系统并非多项式有界，关于它们的详细描述及证明大小的下界信息可进一步查阅相关资料。

2. 弗雷格系统及其扩展

2.1 弗雷格系统

弗雷格系统通过公理和规则推导公式，在经典逻辑文本中常被称为希尔伯特式系统，在命题证明复杂度领域则习惯称为弗雷格系统。
- 弗雷格规则 ：一个(k + 1)元组(ϕ0, ϕ1 …, ϕk)的命题公式，满足{ϕ1, ϕ2, …, ϕk} |= ϕ0 。标准表示法为：

ϕ1
ϕ2
...
ϕk
ϕ0

当k = 0时，该规则称为弗雷格公理。
- 公式推导 ：若存在替换σ使得σ(ϕi) = ψi （i = 0, …, k），则公式ψ0可由公式ψ1, …, ψk通过弗雷格规则(ϕ0, ϕ1 …, ϕk)推导得出。
- F - 证明 ：设F是有限的弗雷格规则集，从命题公式集Φ到公式ϕ的F - 证明是一个命题公式序列ϕ1, …, ϕl = ϕ ，对于所有i = 1, …, l，满足以下条件之一：
1. ϕi ∈ Φ ；
2. 存在1 ≤ i1 ≤ ··· ≤ ik < i ，使得ϕi可由ϕi1, …, ϕik通过F中的弗雷格规则推导得出。记为