模糊逻辑与命题逻辑基础解析

1、给出几个涉及模糊概念的自然语言陈述。

- "John is tall"
- "Fred is young"
- "John is healthy"
- "The patient is depressed"
- "The object is large"
- "The person is old"
- "If an obstacle is close, then brake immediately"
- "High temperatures tend to produce high pressure"

2、结合你自己的经验，描述需要模糊概念的情况。

在日常生活和工作中，有很多需要模糊概念的情况。例如：

• 在描述人的外貌特征时，说“某人长得挺好看”，“好看”是一个模糊概念，没有明确的评判标准；
• 在评价天气时，说“今天天气有点热”，“有点热”也是模糊的，不同人对“热”的感受不同；
• 在交通驾驶场景中，“保持适当车距”，“适当”就是模糊概念，会因车速、路况等因素而不同；
• 在医疗诊断中，医生说患者“身体状况不太好”，“不太好”同样难以精确界定。

3、仅凭常识，为以下模糊集给出合理的隶属函数。（当然，你必须首先准确指定基础集是什么。）(a) n 是一个大整数。(b) 随机变量的均值约为 5。(c) x 远大于 y。(d) 这些是非常年轻的人。(e) x 在 -3 和 2 之间。(f) x 近似等于 y。

以下是各模糊集隶属函数的设定：

(a) 基础集为全体整数集 Z 。设隶属函数 μ(n)，可定义为：

• μ(n) = 0，当 n < N（N 为一个给定的较大整数，如 100）；
• μ(n) = (n - N)/(M - N)，当 N ≤ n ≤ M（M 为比 N 大很多的整数，如 1000）；
• μ(n) = 1，当 n > M。

(b) 基础集为实数集 R 。设隶属函数 μ(μ₀)，可定义为：

• μ(μ₀) = e⁻ᵏ⁽μ₀⁻⁵⁾²，k 为正常数，用于控制隶属函数的形状。

(c) 基础集为 R×R 。设隶属函数 μ(x, y)，可定义为：

• μ(x, y) = 0，当 x - y ≤ a（a 为一个较小的正数，如 1）；
• μ(x, y) = (x - y - a)/(b - a)，当 a < x - y ≤ b（b 为比 a 大的正数，如 10）；
• μ(x, y) = 1，当 x - y > b。

(d) 基础集为全体人的年龄集合，设为 [0, 150]。设隶属函数 μ(age)，可定义为：

• μ(age) = 1，当 age ≤ 10；
• μ(age) = (20 - age)/10，当 10 < age ≤ 20；
• μ(age) = 0，当 age > 20。

(e) 基础集为实数集 R 。设隶属函数 μ(x)，可定义为：

• μ(x) = 0，当 x < -3 或 x > 2；
• μ(x) = 1，当 -3 ≤ x ≤ 2。

(f) 基础集为 R×R 。设隶属函数 μ(x, y)，可定义为：

• μ(x, y) = e⁻ᵏ⁽|x⁻y|⁾，k 为正常数，用于控制隶属函数的形状。

4、计算两个三角数之和的α - 截集。

对于三角数 $(a, b, c)$ 和 $(d, e, f)$，其和为 $(a + d, b + e, c + f)$。设 $\alpha > 0$，$(a, b, c)$ 的 $\alpha$-截集左端点为 $u$，$(d, e, f)$ 的 $\alpha$-截集左端点为 $v$，满足：

$$
a \leq u \leq b,\quad d \leq v \leq e
$$

且

$$
\alpha = \frac{u - a}{b - a} = \frac{v - d}{e - d}
$$

经计算可得：

$$
\alpha = \frac{u + v - (a + d)}{b + e - (a + d)}
$$

这表明 $u + v$ 是 $(a + d, b + e, c + f)$ 的 $\alpha$-截集左端点；同理可得右端点情况，所以 $(a, b, c) + (d, e, f)$ 和 $(a + d, b + e, c + f)$ 有相同的截集。

5、写出经典二值命题逻辑中⇒和⇔的真值表。

在经典二值命题逻辑中：

• $ a \Rightarrow b $ 等价于 $ a’ \lor b $
• $ a \Leftrightarrow b $ 等价于 $ (a \Rightarrow b) \land (b \Rightarrow a) $

根据已知的 $ \lor $、$ \land $ 和 $ ’ $ 的真值表可推导出：

$ \Rightarrow $ 的真值表：

a	b	$ a \Rightarrow b $
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

$ \Leftrightarrow $ 的真值表：

a	b	$ a \Leftrightarrow b $