1、线性系统的直接求解方法

线性系统的直接求解方法

1. 线性系统解的存在性测试

线性系统在数学和科学领域有着广泛的应用，许多求解数学问题（如微分方程、积分方程、超越函数的多项式逼近以及非线性方程组求解）的数值方法，最终都会归结为求解线性方程组。因此，求解线性方程组是数值计算中的一个基本问题。

一个包含 $m$ 个方程和 $n$ 个未知数的线性系统可以写成矩阵形式：
$Ax = b$
其中，
$A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{21} & \cdots & a_{2n} \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{pmatrix}$，$x = \begin{pmatrix}
x_1 \
x_2 \
\vdots \
x_n
\end{pmatrix}$ 且 $b = \begin{pmatrix}
b_1 \
b_2 \
\vdots \
b_m
\end{pmatrix}$

这里，矩阵 $A \in R^{m×n}$ 的系数 $a_{ij}$ 假定为实数，$x \in R^n$ 是未知数向量，$b \in R^m$ 是已知向量。根据 $m$ 和 $n$ 的关系，可定义三种线性系统：
1. 超定线性系