4、贝叶斯决策理论：不确定性下的决策之道

贝叶斯决策理论：不确定性下的决策之道

1. 引言

在现实世界中，我们常常需要在不确定的情况下做出决策。概率理论为我们提供了一个有效的框架，帮助我们处理这种不确定性。例如，抛硬币就是一个典型的随机过程，我们无法准确预测每次抛硬币的结果是正面还是反面，只能谈论出现正面或反面的概率。

数据往往来自一个不完全已知的过程，我们将其建模为随机过程，使用概率理论进行分析。在抛硬币的例子中，唯一可观测的变量是抛硬币的结果，而那些我们无法获取的额外信息，如硬币的精确成分、初始位置、抛掷时施加的力和方向等，被称为不可观测变量。

我们用随机变量 (X) 来表示抛硬币的结果，假设 (X = 1) 表示正面，(X = 0) 表示反面，(X) 服从伯努利分布，其参数 (p_0) 是出现正面的概率，即 (P(X = 1) = p_0)，(P(X = 0) = 1 - p_0)。

如果我们知道 (p_0)，当 (p_0 > 0.5) 时，我们预测下一次抛硬币的结果为正面；否则，预测为反面。这是因为选择更可能的情况可以使错误的概率最小化。如果是一枚公平的硬币，即 (p_0 = 0.5)，我们没有更好的预测方法，只能一直选择正面或者自己再抛一次公平的硬币。

如果我们不知道 (P(X))，就需要从给定的样本中进行估计。例如，在抛硬币的例子中，样本包含过去 (N) 次抛硬币的结果，我们可以用样本中出现正面的次数除以总抛掷次数来估计 (p_0)，即 (\hat{p} 0 = \frac{\sum {t=1}^{N} x_t}{N})，其中 (x_t) 是第 (t) 次抛硬币的结果，正面为 1，反面为 0。

2. 分类